Что такое брахистохрона?

Любите ли вы кататься с горки? Даже если не любите сейчас, то наверняка любили раньше. А как вы думаете, зависит ли скорость спуска от того, какой формы горка? И какой формы должна быть горка, чтобы добиться самой большой средней скорости спуска, то есть проехать по всей длине горки за самое короткое время?

Эту задачу еще в 1696 году сформулировал Швейцарский учёный Иоганн Бернулли – и она оказалась неожиданно сложной. Ею занимались самые известные математики того времени: и англичанин Ньютон, и француз Лопиталь, и немец Лейбниц и даже австриец Чирнгауз (тот самый, который изобрёл европейский фарфор).

Найденную линию и назвали «брахистохрона», от греческого «брахистос» (самый короткий) и «хронос» (время) – и это оказалась совсем не прямая линия, а весьма хитрая и сложная. Взгляните на картинку. Четыре одинаковых шарика и четыре жёлоба. По какому из них шарик скатится быстрее?




Некоторые считают, что, раз прямая – самый короткий путь между двумя точками, то и скорость на прямой будет наивысшей. Однако это не так! Шарик скатится быстрее по второму жёлобу снизу. Это и есть – брахистохрона.

Задача о брахистохроне привела к появлению в математике совершенно нового раздела – так называемого «вариационного исчисления».