Что такое теория хаоса?

Последовавшие затем в фильме события заставили многих думать, что теория хаоса – это что-то вроде Закона Мерфи: если неприятность может случиться, то она случается. Это неправильно. Математик говорил о другом. Почему случается неприятность? Потому что всё предусмотреть невозможно.

Вот это в целом правильно и совершенно понятно. Непонятно только, для чего же тут понадобилась целая теория? Вот это мы и попробуем объяснить.

Неудача Пифагора

В Древней Греции хаосом называлось первоначальное состояние вселенной – когда не существовало ни света, ни тьмы, ни жизни, ни правил и законов. А сотворение мира с точки зрения древних греков представляло собой переход от хаоса (беспорядка) к космосу (порядку).

Одним из образцов идеального порядка, полного «космоса», для древних греков была математика. Пифагор создал целую философскую систему, в которой главное место занимали «божественные числа». «В математике, – говорил Пифагор, – нет места хаосу, то есть случайности и беззаконию. А значит, люди должны жить по законам математики».

Учение Пифагора стало настолько популярным, что он и его ученики даже захватили власть в городе Кротоне. Но... простым горожанам совсем не понравилось, когда их «оцифровали». Произошло народное восстание – и пифагорейцев изгнали из города.

Но понятие математически правильного, предсказуемого порядка прижилось. Периодически людям начинает казаться, что можно создать социальную систему, в которой все «неопределённые» и «расплывчатые» морально-нравственные и культурные нормы будут заменены строгими законами и алгоритмами. Очередной всплеск таких представлений мы переживаем сегодня.

Если есть законы, которым подчиняются все явления природы, то должны быть законы, которым беспрекословно должны подчиняться все люди. Так же мы с вами рассуждаем, правда?

Теория Лапласа

Во времена позднего Средневековья начался расцвет механики. Мастера того времени научились создавать удивительные (даже по нашим меркам) механические диковины.

Это были и часы, которые могли предсказывать астрономические явления, например, фазы Луны или затмения Солнца. Это были и разнообразные механические куклы – например, известно описание фигурки мальчика, который прекрасным почерком писал текст на бумаге.

Механика с её сложной системой приводных колёс, рычагов, шестерёнок, пружин и маятников показалась людям настоящим образцом того самого «порядка», которому подчиняется Вселенная.




Своё математическое описание механика получила в основном благодаря работам французского учёного Лапласа. Именно он начал любое явление рассматривать в качестве динамической системы, то есть системы, свойства (параметры) которой изменяются во времени. Для каждого элемента такой системы (например, отдельной шестерёнки в механизме часов) можно указать некое правило, формулу, которая называется законом движения.

Достигнутые результаты привели Лапласа в такой восторг, что он заявил следующее (читаем внимательно):

«Если для некоей динамической системы известны состояние в момент времени t и закон движения, мы сможем безукоризненно точно сказать, в каком состоянии эта система была в прошлом и в каком состоянии она будет находиться в будущем».

Учёный даже описал мифическое существо, которое знает всё прошлое и всё будущее всего существующего во Вселенной – позднее это существо стали называть «демоном Лапласа».

Итак, согласно Лапласу, любая динамическая система ведёт себя, как механические часы. Будь жив Пифагор, он, наверное, очень бы порадовался – ведь теоретическая механика Лапласа была идеальным воплощением пифагоровского математически правильного «космоса». Всё на своих местах, всё раз и навсегда предопределено, всё по строгому расписанию, никаких неожиданностей, никакого хаоса!

Что-то не то...

Надо сказать, что и во времена Лапласа многие учёные к «механической» концепции отнеслись отрицательно. «Ну хорошо, – говорили они, – с механическими машинами это справедливо. А можно ли с помощью вашей теории предсказывать погоду? А как насчёт человеческих отношений – дружбы, вражды?»

Теория Лапласа испытывала проблемы не только с прогнозом погоды или человеческими отношениями. Дело в том, что в математике того времени тоже были сделаны важные открытия, которые концепциям Лапласа ну никак не хотели подчиняться!

Случайные процессы

Первым таким открытием стало создание теории вероятностей – области математики, изучающей случайные процессы. Например, бросание игральных кубиков. Сколько на следующем броске выпадет очков? Можно ли это предсказать с помощью математики? Нет, нельзя.

Хуже того – в дальнейшем оказалось, что математически невозможно вообще описать такое понятие, как случайное число. Любой из нас с лёгкостью придумает какое-нибудь случайное число – а вот написать математическую формулу, которая это случайное число описывает, оказалось невозможно в принципе!

Вторым открытием стал закон всемирного тяготения Ньютона. Довольно простая формула, её в школе в седьмом классе проходят. Но дело в том, что эта формула описывает поведение динамической системы, состоящей из двух тел – например, Земли и Луны. Или Земли и Солнца. Но на самом-то деле таких тел намного больше! Земля притягивает Луну, а Солнце притягивает Землю – но ведь Луну Солнце тоже притягивает, правда? А когда математики попробовали с помощью формулы Ньютона решить задачу для трёх тел, они столкнулись с невероятными сложностями!

Точное общее решение этой задачи не найдено до сих пор.

Теория хаоса

Внимательно изучая эти и другие задачи, к концу XIX века учёные пришли к выводу, что большинство динамических систем в нашей вселенной ведут себя совсем не так, как это описывал Лаплас. Даже если эти системы описываются с помощью простых и точных формул, в итоге их поведение оказывается непредсказуемым – хаотическим!

Так на свет появилась математическая теория хаоса. Или, если говорить правильнее, детерминированного хаоса.

Возьмём, например, движение Луны вокруг Земли. С одной стороны, оно описывается простой формулой – законом всемирного тяготения Ньютона. Луна вращается вокруг Земли по орбите. Но при этом рассчитать точное положение Луны на орбите не получается, хоть ты тресни!

Современные астрономы используют для расчётов особые, очень сложные формулы (в математике такие формулы называют рядами), причём числовые параметры этих формул постоянно уточняются и исправляются на основании реальных наблюдений в телескоп.

Другой пример – погода. С одной стороны, погода на нашей планете – это всего лишь перемещения масс воздуха. И параметров тут всего три – это температура, скорость и влажность. И описываются эти параметры довольно простыми математическими формулами. Только простота формул в итоге ничего не даёт, – как известно, даже прогноз погоды на завтра может ошибаться. А уж предсказать более-менее точно погоду в следующем месяце вам не возьмётся ни один метеоролог. Так что никакого расписания, никакой предопределённости, сплошные сюрпризы и самый натуральный хаос!

Линейность и нелинейность

Почему такая динамическая система, как часы, ведёт себя «по Лапласу», то есть идеально правильно, а погода – нет?

Как показали исследования, хаотической может быть только нелинейная система.

Две сцеплённые между собой одинаковые шестерёнки – это классический пример линейной системы: если мы начнём быстрее вращать одну шестерёнку, автоматически начнёт вращаться быстрее и другая. Причём во сколько раз быстрее мы будем вращать первую, в точности во столько же раз ускорится вторая. Такая система линейна, а потому хаосом быть не может.

А вот в случае с погодой параметры независимы друг от друга: если, скажем, мы увеличим скорость ветра в два раза, ведь его температура при этом не станет в два раза выше, правда?

Возьмём ещё один пример. Допустим, рабочий делает на станке детали и получает деньги за каждую изготовленную деталь. Если он начнёт работать в два раза быстрее, то сделает в два раза больше деталей и получит в два раза больше денег. Такая система линейна, в ней зарплата линейно зависит от скорости работы.

Но заменим теперь рабочего на, скажем, телеведущего. Допустим, телеведущий решил говорить во время выпусков новостей в два раза быстрее – как вы считаете, прибавят ему за это зарплату в два раза? Данная система нелинейна.

Эфффект бабочки

Другой важный вывод, к которому пришла теория хаоса, следующий. При малом расхождении начальных условий динамической системы разброс её конечных состояний может быть очень большим. Что это означает?

Если взять механические часы и повернуть чуть-чуть одну шестерёнку, то вторая, сцеплённая с ней, тоже повернётся чуть-чуть. А вот в хаотических системах совсем не так!

Например, лежит снег на склоне горы. Одна снежинка чуть-чуть подвинула две другие, эти две немножко подвинули соседние – и через 5 минут по склону несётся с огромной скоростью чудовищная лавина снега!




Это явление часто называют эффектом бабочки. Объясняя студентам теорию хаоса, американский учёный Лоренц приводил пример, когда «взмах крыла бабочки где-то над Америкой может в результате сложной цепи событий привести к урагану над Тихим океаном».

Время Ляпунова

Третий важный вывод теории хаоса – ограниченность возможности предсказания состояния системы в будущем. Для каждой хаотической системы существует некое время, называемое временем Ляпунова, за пределами которого её поведение становится полностью непредсказуемым.




Что это означает? С помощью формул и расчётов мы можем в какой-то степени предсказать поведение динамической системы – но только до определённого момента! Скажем, местный гидрометцентр может дать надёжный прогноз погоды на ближайшие 2 часа. Вполне приличный прогноз – на ближайшие 6 часов. Более-менее приемлемый – на завтра. Однако уже прогноз погоды на 3–4 дня вперёд достоверным не будет!

Другой пример – наша Солнечная система. С одной стороны, она управляется по законам небесной механики, и учёные могут очень точно предсказать движение планет, спутников и других небесных тел. Да, это так – но со временем эта точность падает! Для Солнечной системы время Ляпунова составляет 50 миллионов лет – а это значит, что предсказать положение планет и их спутников на 50 миллионов лет вперёд (пускай даже хоть сколько-нибудь приблизительно!) мы не в состоянии. Вообще! Никак!

Так что никакого всезнающего «демона Лапласа» (или «искусственного интеллекта», как сейчас это принято называть) быть не может. Причём не может быть именно согласно науке, на которую так любят ссылаться сторонники «тотальной цифровизации».