Почему «минус на минус даёт плюс»? Простейшие доказательства

На вопрос, где моё золото? Бедняк ответил: "Теперь у меня. Мы договорились умножить наши состояния, вот я и умножил... на отрицательное число."

Это притча прямо иллюстрирует закон умножения на отрицательное число. У бедняка были исключительно долги (отрицательная сумма денег) и при умножении на отрицательное число получилось крупное состояние. Ну а богач при умножении своего состояния на отрицательное число оказался в долгах как в шелках. Приведенная притча как нельзя лучше иллюстрирует математическое правило умножения на отрицательное число. Но как это обосновать и объяснить наглядно?

Строгое доказательство того, что умножение двух отрицательных чисел даст в итоге положительный результат, приводится в таком разделе математики как «Теория чисел». Однако вряд ли среди читателей канала много людей знакомых с математическим понятием «кольцо», а тем более с его бинарными операциями. Поэтому оставим строго математическое доказательство через аксиоматику кольца для математиков, а сами обратимся к доказательствам логическим.

Доказательство первое

Сейчас мы воспользуемся «математической логикой». Есть там «закон отрицания отрицания», который гласит, что если неверное утверждение неверно, то оно - истинное. На примере это можно пояснить так: неверно, что неверно, что Москва столица Российской Федерации. Значит утверждение «Москва является столицей РФ» правдиво. Знак «минус» можно трактовать как отрицание, тогда «минус» «минус» есть подтверждение.




Проще говоря:

-(-2)=2

Теперь проведем несложные вычисления:

-2*(-3)= -1*2*(-1)*3 пока мы просто математически переписали наш пример,

а сейчас используем ассоциативность (сочетательный закон) умножения:

-1*(-1)*2*3=-(-1)*6 (мы просто перемножили единицы и умножили 2 на 3, а знаки пока не трогали)= 6 (для -(-1) мы использовали закон отрицания отрицания).

Доказательство второе

Решим несложное уравнение 6х+6=4х+8

Для начала соберем неизвестные слева от знака равенства, а константы справа, при этом, соблюдая, правило смены знака при переносе через равно. Получим:

6х-4х=8-6

Отсюда, 2х=2, х=2/2

Сейчас мы вспомним, что деление, это операция обратная умножению, и разделить на 2 это то же самое, что умножить на 1/2. Перепишем последнюю строчку:

х=2*(1/2)

Имеем, х=1.

Мы уже знаем правильный ответ. А сейчас повторно решим наше уравнение, вот только постоянные соберем слева от знака равенства, а переменные справа. Получим:

6-8=4х-6х

Отсюда -2=-2х, следовательно, -2/(-2)=х, или же -2*(-1/2)=х.

Но мы уже знаем, что х=1, а значит -2*(-1/2)=1.

Получили, что при умножении двух отрицательных чисел результат оказывается положительный.

Доказательство третье

Возьмем обыкновенный уличный термометр. Пусть каждый час температура поднимается ровно на 2 градуса по Цельсию. Сейчас полдень и на термометре 0 градусов. Какая температура будет в 15 часов?




Задача абсолютно несложная — при постоянном увеличении температуры за три часа она повысится на 6 градусов, поскольку 15ч-12ч = 3ч, а 3*2=6. Так что в 15 часов термометр покажет 6 градусов.

Усложним вопрос: а какая температура была в 8 часов утра, при условии, что ее рост был точно таким же?

Логика подсказывает, что 8 часов утра по сравнению с полднем это -4 часа, так как 8ч-12ч=-4ч. Спустимся по температурной шкале по 2 градуса вниз от 0 градусов 4 раза. Мы получим 8 градусов мороза, или попросту -8 градусов Цельсия. Таким образом получается -4*2=-8. Пока все просто и логично.

Теперь представим ситуацию, когда температура не повышается со временем, а понижается (бывает и такое) на те же 2 градуса в час.

Понижение температуры означает ее изменение на -2 градуса каждый час. Для большей правдоподобности у нас на часах 23-00, а на термометре все тот же 0 градусов по Цельсию. А какая температура была в 20-00? Посчитаем, 20ч-23ч=-3ч. Далее -3*(-2)=6.

Проверим, двигаясь вверх по шкале на два градуса за каждый час. В итоге имеем те же 6 градусов по Цельсию. Следовательно, при умножении двух отрицательных чисел мы получаем положительное.