На uCrazy 18 лет 1 месяц
«Теория хаоса» - одна из самых чудесных областей современной математики
В обычной жизни под словом хаос люди понимают некий беспорядок. Но математика имеет несколько иное понятие этого слова, причем его чаще именуют детерминированным хаосом. Стремясь не лезть в сложные математические структуры, наименования и прочие формулы, автор статьи попытается объяснить теорию хаоса доступным языком.
Источник изображения: streetartnews.net
Итак, в математике и физике под хаосом понимают сложную систему, в которой незначительные изменения начальных условий приводит к весьма значительному отклонению результата.
Над теорией описывающей закономерности развития внешне хаотических систем (например, полета большой стаи ворон или поведения толпы) работали многие математики. Все же честь именоваться первым настоящим теоретиком хаоса досталась метеорологу Эдварду Лоренцу...
Почему метеорологи часто ошибаются
То, что на 3 метеорологов имеется сразу 7 достоверных прогнозов погоды, причем среди них нет истинного, известно многим. А Лоренцу удалось это доказать. В 1960 году Эдвард занимался привычной для синоптика работой — он пытался предсказать погоду. В распоряжении специалиста имелась электронно-вычислительная машина, в которую он загрузил 12 дифференциальных уравнений описывающие движения атмосферных потоков. Неожиданно выяснилось, что небольшое упрощение начальных условий серьезно изменяет итоговый прогноз.
В 1961 году Лоренц решил проверить особенную числовую последовательности, но желая сэкономить время, мужчина ввел данные примерно со средины предыдущих расчетов именно этой последовательности. Загрузив данные, мужчина отправился по своим делам. Вернувшись через час Эдвард с удивлением обнаружил, что машина выдала совершенно иной итог.
Взмах крыльев бабочки
Озадаченный метеоролог взялся за поиски причин расхождения результатов. Спустя некоторое время причина сильно изменившегося результата была обнаружена, что вызвало немалое удивления синоптика. В предыдущей компьютерной распечатке, с которой Эдвард Лоренц вводил данные, значилось число 0,506127, а сам специалист ради экономии времени ввел 0,506. Разница составляла ничтожные 0,000127, но именно эта разница до неузнаваемости исказила конечный результат.
Сам подобный результат известен как «Эффект бабочки». Различие в точках начальных кривых неуловимо мало (так что его можно сравнить с колебанием воздуха возникающего при движении крыльев бабочки при ее порхании), но в итоге значения кривых очень сильно расходятся.
Этот результат впоследствии описывал Ян Стюарт в своей книге «Математика Хаоса». По его словам, порхание крыльев бабочки вызывает неуловимые колебания воздуха, распространяющиеся во все стороны. Эти колебания вызывают вторичные колебания в новом месте и так далее. Процесс нарастания колебаний происходит лавинообразно. Итогом может стать появление урагана ударившего по Индонезии. А может так случиться, что именно 1 взмах крыльев бабочки погасит зарождающееся торнадо и сотни жизней будут спасены.
В математике точка в которой небольшое усилие может резко изменить конечный результат называется точкой бифуркации. На самом деле на графиках функций процессов таких точек обычно немного. Так что бабочке придется постараться, чтобы конкретно попасть в точку бифуркации и вызвать ураган. И все же подобное явление вполне осуществимо.
Сам Лоренц взял описанные выше 12 уравнений и начал математическими методами их упрощать, иногда делая округления (люди детально изучавшие дифференциальные уравнения поймут автора статьи, остальных прошу поверить мне на слово). По итогам упрощений осталось только 3 уравнения. Самое интересное, что оттолкнувшись от метеорологических явлений, Лоуренц создал в итоге систему из 3 дифференциальных уравнений описывающих ... водоворот. Вот к какому неожиданному итогу привели внешне незначительные округления.
Дальнейшие исследования привели к созданию системы уравнений, способных предсказать результат внешне хаотических явлений. Так успешно были просчитаны колебания цен на хлопок в США в 1900 году. Сравнение результата выданного ЭВМ (не цен, а именно их колебаний по месяцам) с реальной картиной рынка выдало практически полную их идентичность.
Хаотическая закономерность кажется далекой от жизни. В самом деле, никому в здравом уме (разве что кроме математиков) не придет в голову строить систему дифференциальных уравнений описывающих полет стаи ворон. Но она гораздо ближе, чем это можно себе представить. Именно так падают капли и бьется ваше сердце. При постоянных условиях у оно бьется неравномерно. Но если построить график зависимости количества ударов сердца от времени, то цикличность хаотичности станет очевидной.
Над теорией описывающей закономерности развития внешне хаотических систем (например, полета большой стаи ворон или поведения толпы) работали многие математики. Все же честь именоваться первым настоящим теоретиком хаоса досталась метеорологу Эдварду Лоренцу...
Эдвард Нортон Лоренц, американский математик, один оз основоположников теории хаоса.
Почему метеорологи часто ошибаются
То, что на 3 метеорологов имеется сразу 7 достоверных прогнозов погоды, причем среди них нет истинного, известно многим. А Лоренцу удалось это доказать. В 1960 году Эдвард занимался привычной для синоптика работой — он пытался предсказать погоду. В распоряжении специалиста имелась электронно-вычислительная машина, в которую он загрузил 12 дифференциальных уравнений описывающие движения атмосферных потоков. Неожиданно выяснилось, что небольшое упрощение начальных условий серьезно изменяет итоговый прогноз.
В 1961 году Лоренц решил проверить особенную числовую последовательности, но желая сэкономить время, мужчина ввел данные примерно со средины предыдущих расчетов именно этой последовательности. Загрузив данные, мужчина отправился по своим делам. Вернувшись через час Эдвард с удивлением обнаружил, что машина выдала совершенно иной итог.
Взмах крыльев бабочки
Озадаченный метеоролог взялся за поиски причин расхождения результатов. Спустя некоторое время причина сильно изменившегося результата была обнаружена, что вызвало немалое удивления синоптика. В предыдущей компьютерной распечатке, с которой Эдвард Лоренц вводил данные, значилось число 0,506127, а сам специалист ради экономии времени ввел 0,506. Разница составляла ничтожные 0,000127, но именно эта разница до неузнаваемости исказила конечный результат.
Сам подобный результат известен как «Эффект бабочки». Различие в точках начальных кривых неуловимо мало (так что его можно сравнить с колебанием воздуха возникающего при движении крыльев бабочки при ее порхании), но в итоге значения кривых очень сильно расходятся.
«Эффект бабочки» Источник изображения: itp.dlut.edu.cn
Этот результат впоследствии описывал Ян Стюарт в своей книге «Математика Хаоса». По его словам, порхание крыльев бабочки вызывает неуловимые колебания воздуха, распространяющиеся во все стороны. Эти колебания вызывают вторичные колебания в новом месте и так далее. Процесс нарастания колебаний происходит лавинообразно. Итогом может стать появление урагана ударившего по Индонезии. А может так случиться, что именно 1 взмах крыльев бабочки погасит зарождающееся торнадо и сотни жизней будут спасены.
эффект бабочки проиллюстрирован с использованием источника света, прикрепленного к свободному концу двойного маятника. Изображение с большой выдержкой показывает сильную зависимость от начальных условий, в которых небольшое изменение в одном состоянии может привести к большим различиям в более позднем системы, то есть «незначительные причины могут иметь серьезные последствия». Источник изображения: wikimedia.org
В математике точка в которой небольшое усилие может резко изменить конечный результат называется точкой бифуркации. На самом деле на графиках функций процессов таких точек обычно немного. Так что бабочке придется постараться, чтобы конкретно попасть в точку бифуркации и вызвать ураган. И все же подобное явление вполне осуществимо.
Сам Лоренц взял описанные выше 12 уравнений и начал математическими методами их упрощать, иногда делая округления (люди детально изучавшие дифференциальные уравнения поймут автора статьи, остальных прошу поверить мне на слово). По итогам упрощений осталось только 3 уравнения. Самое интересное, что оттолкнувшись от метеорологических явлений, Лоуренц создал в итоге систему из 3 дифференциальных уравнений описывающих ... водоворот. Вот к какому неожиданному итогу привели внешне незначительные округления.
Вихрь, создаваемый крылом самолета. Исследования критической точки, за которой система создает турбулентность, были важны для теории хаоса, которую проанализировал, советский физик Лев Ландау и разработал теорию турбулентности Ландау-Хопфа . Источник изображения: wikimedia.org
Дальнейшие исследования привели к созданию системы уравнений, способных предсказать результат внешне хаотических явлений. Так успешно были просчитаны колебания цен на хлопок в США в 1900 году. Сравнение результата выданного ЭВМ (не цен, а именно их колебаний по месяцам) с реальной картиной рынка выдало практически полную их идентичность.
Хаотическая закономерность кажется далекой от жизни. В самом деле, никому в здравом уме (разве что кроме математиков) не придет в голову строить систему дифференциальных уравнений описывающих полет стаи ворон. Но она гораздо ближе, чем это можно себе представить. Именно так падают капли и бьется ваше сердце. При постоянных условиях у оно бьется неравномерно. Но если построить график зависимости количества ударов сердца от времени, то цикличность хаотичности станет очевидной.
Комментариев пока нет
